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2015-05-05T15:04:06+05:30

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From the question, we see that    66 = 60 + 6 ,      42 = 60 - 18  and  78 = 60 +18

Tan42  Tan 78
  = Tan (60 - 18) * Tan (60 + 18)
  = (Tan 60 - tan 18) / (1+tan60 tan18)  * (tan60 + tan18) / (1 - Tan60 tan18)
  = (√3 - tan18) (√3 + tan18) / [ (1+√3 tan18)(1-√3 tan18) ]
  = (3 - tan²18) / (1 - 3 tan²18)      ---- (1)
  =  (3 Cos²18 - Sin²18) / (Cos²18 - 3 Sin²18)
  =  (3 - 4 Sin²18) / (4 Cos²18 - 3)
  =  [ Sin 3*18 / Sin 18 ] / [ Cos 3*18 / Cos 18 ]
  = Tan 54 / Tan 18                                       ---- (2)
        from the formula Sin 3A = sinA (3 - 4 sin²A)  and Cos3A = CosA (4 Cos²A - 3)

Tan 6
Tan 66
   = Tan (60 + 6) * tan 6 * tan (60-6) / tan 54 
   = tan (60 - 6) * tan (60 +6) * tan 6 / tan 54
   = [(√3 + tan 6) / (1 -√3 tan 6) ] * [(√3 + tan 6) / (1 - √3 tan6)] * tan 6 / tan 54
   = [ (3 - tan² 6) / (1 - 3 tan² 6) ] * tan 6 / tan 54
   = [ (3 Cos² 6 - Sin² 6) / ( Cos² 6 - 3 Sin² 6) ] * [ tan 6 / tan 54 ]
   = [ (3 - 4 Sin² 6) / (4 Cos² 6 - 3) ] * tan 6 / tan 54 ]
   = [ (3 Sin 6 - 4 Sin³ 6) / (4 Cos³ 6 - 3 Cos 6) ] / tan 54 ]
   = Sin (3*6) / Cos (3*6)  / tan 54
   = Tan 18 / Tan 54

Hence,  Tan 6 tan 42 tan 66  tan 78
     = Tan 54 / Tan 18  *  tan 18 / Tan 54 
     = 1
================================

Another way:


Tan (60 - A)
         = (tan 60 - tan A) / (1 + tan 60 tan A)
         = (√3 - Tan A) / (1 + √3 tan A)                    ---- (1)
Tan (60 +A)
         = (tan 60 + tan A) / (1 - Tan60 Tan A)
         = ( √3 + Tan A) / (1 - √3 Tan A)                  ---- (2)

Tan (60 - A) * Tan (60 + A)
         = (3 - Tan²A) / (1 - 3 Tan²A)
         = (3 - sec²A + 1) / (1 - 3 sec²A + 3)
         = (4 Cos²A -1) / (4 Cos²A - 3)              --- (3)

Sin 3A = 3 Sin A - 4 Sin³ A
Cos 3A = 4 Cos³ A - 3 Cos A
Tan 3A  =  [ 3 Sin A - 4 Sin³A ] / [ 4 Cos³ A - 3 Cos A]
            =  Tan A [ 4 Cos² A - 1 ] / [ 4 Cos² A - 3 ]            ---- (4)
            = Tan A [ 4 - sec² A ] / [ 4 - 3 Sec² A ]
            =   Tan A [ 3 - Tan² A ] / [ 1 - 3 Tan² A ]               --- (5)

From  (1), (2) , (3) , (4)  we have:

Tan 3A / Tan A = Tan (60 - A)  Tan (60 + A)    --- (6)
================
Now,    let  A = 18°  in (6)
       =>  Tan 54° / Tan 18° = Tan 42° Tan 78°        ---- (7)

Let A = 6° in (6)
       =>  Tan 18°/Tan 6° = Tan 54°  Tan 66°
       =>  Tan 18° / Tan 54° = Tan 6°  Tan 66°        --- (8)

Multiplying (8) and (7):
   Tan 6°  Tan 42° Tan 66° Tan 78°
        =  tan 54 / tan 18   *  tan 18/ Tan 54
        = 1

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