Answers

2015-04-01T15:23:25+05:30

This Is a Certified Answer

×
Certified answers contain reliable, trustworthy information vouched for by a hand-picked team of experts. Brainly has millions of high quality answers, all of them carefully moderated by our most trusted community members, but certified answers are the finest of the finest.
Let  U = Ux i + Uy j + Uz k ,
       i,  j and k are unit vectors in x, y and z directions respectively.
let  V = Vx i + Vy j + Vz k
     
Now,    U . V = Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz  = dot product
     U Χ V = cross product = (Ux i + Uy j + Uz k) X (Vx i + Vy j + Vz k)
              = Ux Vy k - Ux Vz j - Uy Vx k + Uy Vz i + UzVx j - Uz Vy i
              = (Uy Vz - Uz Vy) i + (Uz Vx - Ux Vz) j + ((Ux Vy - Uy Vx) k

(U Χ V) Χ V
  =
[ (Uy Vz-Uz Vy) i + (Uz Vx-Ux Vz) j + (Ux Vy-Uy Vx) k] Χ (Vx i + Vy j + Vz k)
  = (Uy Vz - Uz Vy)Vy k - (Uy Vz - Uz Vy) Vz j - (Uz Vx - Ux Vz) Vx k
       + (Uz Vx - Ux Vz) Vz i + (Ux Vy - Uy Vx) Vx j - (Ux Vy - Uy Vx) Vy i
  = (Uy Vy Vz + Ux Vx Vz - Uz Vy² - Uz Vx² ) k
       + (Uz Vy Vz + Ux Vx Vy - Uy Vz² - Uy Vx²) j
           + (Uz Vx Vz + Uy Vx Vy - Ux Vz² - Ux Vy² ) i

[ (U Χ V) Χ V ] . U =
  = (Ux Vx Uz Vz + Ux Vx Uy Vy - Ux² Vz² - Ux² Vy²)
         + (Uy Uz  Vy Vz + Ux Uy Vx Vy - Uy² Vz² - Uy² Vx²)
               + (Uy UzVy Vz + Ux Uz Vx Vz - Uz² Vy² - Uz² Vx²)

(U . V)² = (Ux² Vx² + Uy² Vy² + Uz² Vz² + 2 Ux Vx Uy Vy + 2 Uy Vy Uz Vz
                   + 2 Ux Vx Uz Vz)

(U . V)² - [ (U Χ V) Χ V ] . U =
     = Ux² Vx² + Uy² Vy² + Uz² Vz² + Ux² Vz² + Ux² Vy²  + Uy² Vz² + Uy² Vx²
         + Uz² Vy² + Uz² Vx²          --- other terms cancel each other.
     = Ux² (Vx² +Vy²+Vz²) + Uy² (Vx² +Vy² + Vz²) + Uz² (Vx² + Vy² + Vz²)
     = (Ux² + Uy² + Uz²) (Vx² + Vy² + Vz²)
     = | U |² * | V

This is a long and detailed method.. a little difficult.
========================================
A simpler method.
We use the Triple product expansion or Lagrange's formula for vector products:
                    A X (B X C) =  (C . A) B  -  (A . B) C
                    (A X B) X C = ( C . A) B - (B . C) A
      
So  [ (U Χ V) Χ V ] . U
     = [ (V . U) V - (V . V) U ] . U
     = (V . U) (V . U)  -  (V . V) (U . U)
     = (V . U)² - | V |²  * | U

Hence,
   (U . V)² - [ (U Χ V) Χ V ] . U
       = (U . V)² - [ (V . U)² - | V |²  * | U |² ]
       = | V |²  *  | U

1 5 1